Primitives usuelles : tableau et intégrales

Une primitive de f est une fonction F dont la dérivée est f, définie à une constante près : la primitive de xⁿ est xⁿ⁺¹/(n + 1), celle de 1/x est ln x, celle de eˣ est eˣ. L’intégrale de a à b vaut F(b) − F(a).

Mis à jour le 7 novembre 2026

Définition

F est une primitive de f sur un intervalle I si F’ = f sur I. Deux primitives d’une même fonction diffèrent d’une constante : on écrit F(x) + C.

Primitives des fonctions de référence

Fonction f(x)	Primitive F(x) (+ C)	Intervalle
k (constante)	kx	ℝ
x	x²/2	ℝ
x²	x³/3	ℝ
xⁿ (n entier, n ≠ −1)	xⁿ⁺¹/(n + 1)	ℝ si n ≥ 0 ; ℝ* si n < −1
1/x	ln x	]0 ; +∞[
1/x²	−1/x	ℝ*
1/√x	2√x	]0 ; +∞[
√x	(2/3) x√x = (2/3) x^3/2	[0 ; +∞[
e^x	e^x	ℝ
sin x	−cos x	ℝ
cos x	sin x	ℝ
1/cos² x = 1 + tan² x	tan x	x ≠ π/2 + kπ

Primitives de formes composées

Forme de f	Primitive F	Condition
u’ uⁿ	uⁿ⁺¹/(n + 1)	n ≠ −1
u’/u	ln u	u > 0 (sinon ln \|u\|)
u’/u²	−1/u	u ≠ 0
u’/√u	2√u	u > 0
u’ e^u	e^u
u’ cos u	sin u
u’ sin u	−cos u
f(ax + b) avec F primitive de f	(1/a) F(ax + b)	a ≠ 0

Exemples

f(x)	F(x)
3x² − 4x + 1	x³ − 2x² + x
e^3x	(1/3) e^3x
2x/(x² + 1)	ln(x² + 1)
cos(2x)	(1/2) sin(2x)
(2x + 1)⁴	(2x + 1)⁵/10
x e^x²	(1/2) e^x²

Intégrale

∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a), noté [F(x)]_a^b.
Linéarité : ∫(αf + βg) = α∫f + β∫g. Relation de Chasles : ∫_a^c = ∫_a^b + ∫_b^c.
Si f ≥ 0 sur [a ; b], l’intégrale est l’aire sous la courbe (en unités d’aire). Valeur moyenne : (1/(b − a)) ∫_a^b f(x) dx.
Exemple : ∫₀¹ x² dx = [x³/3]₀¹ = 1/3.

Erreurs fréquentes

Erreur : primitive de 1/x2 donnée comme ln(x2) → Correct : −1/x.
Erreur : primitive de e3x donnée comme e3x → Correct : (1/3) e3x.
Erreur : primitive de cos x donnée comme −sin x → Correct : sin x (c’est la dérivée de cos qui est −sin).
Erreur : oublier la constante C quand on cherche la primitive vérifiant une condition → Correct : déterminer C avec la condition donnée (par exemple F(0) = 2).
Erreur : ∫ab f = F(a) − F(b) → Correct : F(b) − F(a).

À retenir

Chercher une primitive, c’est lire le tableau des dérivées à l’envers et vérifier en dérivant le résultat. Pour une forme composée, repérez u et vérifiez que u’ est bien en facteur, à une constante près.