Logarithme et exponentielle : propriétés

L’exponentielle transforme les sommes en produits (eᵃ⁺ᵇ = eᵃ eᵇ) et le logarithme népérien, sa réciproque sur ]0 ; +∞[, transforme les produits en sommes (ln(ab) = ln a + ln b). Les deux fonctions sont strictement croissantes, de dérivées eˣ et 1/x.

Mis à jour le 7 novembre 2026

Propriétés algébriques

Exponentielle (pour tous réels a, b)	Logarithme népérien (pour a > 0, b > 0)
e⁰ = 1, e¹ = e ≈ 2,718	ln 1 = 0, ln e = 1
e^a+b = e^a × e^b	ln(ab) = ln a + ln b
e^a−b = e^a / e^b	ln(a/b) = ln a − ln b
e^−a = 1 / e^a	ln(1/a) = −ln a
(e^a)ⁿ = e^na	ln(aⁿ) = n ln a

Fonctions réciproques

ln(e^x) = x pour tout réel x ; e^{ln x} = x pour x > 0.
e^x = y ⇔ x = ln y (avec y > 0).
e^a = e^b ⇔ a = b ; e^a < e^b ⇔ a < b.
ln a = ln b ⇔ a = b ; ln a < ln b ⇔ a 0).
ln x > 0 ⇔ x > 1 ; ln x < 0 ⇔ 0 < x < 1.

Étude des fonctions

	exp : x ↦ e^x	ln : x ↦ ln x
Ensemble de définition	ℝ	]0 ; +∞[
Signe	e^x > 0 toujours	négatif sur ]0 ; 1[, positif sur ]1 ; +∞[
Dérivée	e^x	1/x
Sens de variation	strictement croissante	strictement croissante
Limite en −∞ ou en 0⁺	e^x → 0 quand x → −∞	ln x → −∞ quand x → 0⁺
Limite en +∞	+∞	+∞

Croissances comparées

e^x/x → +∞ et e^x/xⁿ → +∞ quand x → +∞ ; x e^x → 0 quand x → −∞.
ln x / x → 0 quand x → +∞ ; x ln x → 0 quand x → 0⁺.
En +∞, l’exponentielle l’emporte sur toute puissance, qui l’emporte sur le logarithme.

Logarithme décimal et puissances

log x = ln x / ln 10 ; log 10ⁿ = n ; log 1 000 = 3.
Exemple : résoudre 2ⁿ ≥ 1 000 : n ln 2 ≥ ln 1 000, soit n ≥ ln 1 000 / ln 2 ≈ 9,97, donc n ≥ 10.

Erreurs fréquentes

Erreur : ln(a + b) = ln a + ln b → Correct : c’est ln(ab) qui vaut ln a + ln b ; ln(a + b) ne se simplifie pas.
Erreur : ea × eb = eab → Correct : ea+b.
Erreur : résoudre ln x = 2 par x = 2e → Correct : x = e2 ≈ 7,39.
Erreur : ln(−3) calculé → Correct : ln n’est défini que pour x > 0.
Erreur : (ln x)2 confondu avec ln(x2) = 2 ln x → Correct : ce sont deux expressions différentes.
Erreur : ex = 0 a une solution → Correct : ex > 0 pour tout x, l’équation n’a pas de solution.

À retenir

Exponentielle : sommes vers produits, toujours positive, dérivée égale à elle-même. Logarithme : produits vers sommes, défini pour x > 0, dérivée 1/x. Pour résoudre, on « passe au ln » ou on « passe à l’exponentielle » des deux côtés.