Équations du second degré : discriminant et racines

Pour résoudre ax² + bx + c = 0, on calcule Δ = b² − 4ac : deux racines (−b ± √Δ)/(2a) si Δ > 0, une racine double −b/(2a) si Δ = 0, aucune racine réelle si Δ < 0. La somme des racines vaut −b/a et leur produit c/a.

Mis à jour le 7 novembre 2026

Forme et discriminant

Équation ax2 + bx + c = 0 avec a ≠ 0. On calcule le discriminant Δ = b2 − 4ac.

Signe de ΔNombre de solutions réellesSolutionsFactorisation de ax2 + bx + c
Δ > 0deuxx1 = (−b − √Δ) / (2a) et x2 = (−b + √Δ) / (2a)a(x − x1)(x − x2)
Δ = 0une (racine double)x0 = −b / (2a)a(x − x0)2
Δ < 0aucunepas de solution dans ℝ (deux solutions complexes conjuguées : (−b ± i√(−Δ)) / (2a))pas de factorisation dans ℝ

Somme et produit des racines

FormuleUtilité
S = x1 + x2 = −b / avérifier un calcul ou trouver la seconde racine quand on connaît la première
P = x1 × x2 = c / aidem ; deux nombres de somme S et de produit P sont solutions de x2 − Sx + P = 0
Racine évidentesi a + b + c = 0, alors 1 est racine et l’autre vaut c / a

Signe du trinôme

  • Δ > 0 : le trinôme est du signe de a à l’extérieur des racines et du signe opposé entre les racines.
  • Δ = 0 : signe de a partout, nul en x0.
  • Δ < 0 : toujours du signe de a.

Forme canonique et parabole

ax2 + bx + c = a(x − α)2 + β avec α = −b / (2a) et β = −Δ / (4a). Le sommet de la parabole est S(α ; β), l’axe de symétrie est x = α. La parabole est tournée vers le haut si a > 0, vers le bas si a < 0.

Exemples résolus

ÉquationΔSolutionsVérification
2x2 − 3x − 2 = 09 + 16 = 25x1 = (3 − 5)/4 = −1/2 ; x2 = (3 + 5)/4 = 2S = 3/2 = −b/a ; P = −1 = c/a
x2 − 6x + 9 = 036 − 36 = 0x0 = 6/2 = 3(x − 3)2 = 0
x2 + x + 1 = 01 − 4 = −3aucune dans ℝtrinôme toujours positif

Erreurs fréquentes

  • Erreur : Δ = b<sup>2</sup> − 4ac calculé avec un b négatif sans parenthèses, (−3)<sup>2</sup> lu comme −9 → Correct : (−3)<sup>2</sup> = 9.
  • Erreur : x = (−b ± √Δ) / 2 → Correct : diviser par 2a et non par 2.
  • Erreur : conclure « pas de solution » quand Δ = 0 → Correct : une solution double x<sub>0</sub> = −b/(2a).
  • Erreur : résoudre x<sup>2</sup> = 9 par x = 3 seulement → Correct : x = 3 ou x = −3.
  • Erreur : oublier a dans la factorisation : (x − x<sub>1</sub>)(x − x<sub>2</sub>) → Correct : a(x − x<sub>1</sub>)(x − x<sub>2</sub>).

À retenir

Δ = b² − 4ac décide de tout : positif, deux racines ; nul, une racine ; négatif, aucune. Les racines s’obtiennent par (−b ± √Δ)/(2a) et se vérifient avec la somme −b/a et le produit c/a.

Voir aussi